Question

已知函數(shù)f(x)=ax-

1

2x

-lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：將函數(shù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)，通過換元將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，求出a的范圍．

解答：解：∵f(x)=ax-

1

2x

-lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f′(x)=a+

1

2x2

-

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a≥-

1

2x2

+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
下面求y=-

1

2x2

+

1

x

在（0，+∞）上的最大值
令t=

1

x

則t∈（0，+∞）
∴y=-

1

2

t2+t，  t∈(0，+∞)
∴t=1時(shí)，y=-

1

2

t2+t，  t∈(0，+∞)有最大值

1

2

∴a的取值范圍是a≥

1

2

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)性已知求參數(shù)問題，一般令導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立；解決不等式恒成立一般分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．