Question

【題目】設(shè)拋物線的方程為，其中常數(shù)，是拋物線的焦點(diǎn).

（1）若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；

（2）設(shè)是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；

（3）設(shè)，、是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)的直線，與拋物線交于點(diǎn)、，與拋物線交于點(diǎn)、，若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，代入拋物線方程，求得，可得弦長，解方程可得；

（2）求得的坐標(biāo)，設(shè)出過的直線為，，聯(lián)立拋物線方程，若要使取到最大值，則直線和拋物線相切，運(yùn)用判別式為0，求得傾斜角，可得所求最大值；

（3）求得，設(shè)，，，，，，，，，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直斜率之積為-1的條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，和消元法，可求得軌跡方程

（1）由可得，可得，解得；

（2）是點(diǎn)，關(guān)于頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，可得，，

設(shè)過的直線為，，

聯(lián)立拋物線方程可得，

由直線和拋物線相切可得△，解得，

可取，可得切線的傾斜角為，

由拋物線的定義可得，而的最小值為，

的最大值為；

（3）由，可得，設(shè)，，，，，，，，，

設(shè)，聯(lián)立拋物線，可得，

即有，，

由兩直線垂直的條件，可將換為，可得

，，

點(diǎn)滿足，

可得，，，

即為①，

②，

聯(lián)立①②式消元可得，

則的軌跡方程為