Question

已知函數(shù)f（x）=x²lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=kx-1有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先考慮函數(shù)的定義域優(yōu)先原則求出定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，即可得到單調(diào)增區(qū)間，
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx+

1

x

，求出函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：（1）由題意可知函數(shù)的定義域為：（0，+∞）
f′（x）=x（2lnx+1），
令f′（x）＞0，得2lnx+1＞0，即x＞

e

e

令f′（x）＜0，得2lnx+1＜0，即0＜x＜

e

e

，
所以函數(shù)f（x）解：的遞減區(qū)間是（0，

e

e

）．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

e

e

，+∞）．
（2）由題意可得，關(guān)于x的方程f（x）=kx-1有實數(shù)解，
∴f（x）-kx+1=0，
即x²lnx-kx+1=0．
∴k=xlnx+

1

x

設(shè)g（x）=xlnx+

1

x

，
則g′（x）=lnx+

x2-1

x2

，
∴g′（1）=0，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以當x=1時，g（x）_min=g（1）=1，
所以k≥1，
故k的取值范圍是[1，+∞）

點評：本題主要考查了方程的根與函數(shù)零點間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)解決零點存在性問題的方法，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法