Question

已知(

3

x

-

3	x

)n的展開式的各項系數之和等于(4

3	x

-

1

5x

)5展開式中的常數項，求(

3

x

-

3	x

)n展開式中含x^-1的項的二項式系數．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：先求得 (4

3	x

-

1

5x

)5展開式中的常數項為 T3=27，而(

3

x

-

3	x

)n的展開式各項系數和為2⁷，結合條件求得n=7，由(

3

x

-

3	x

)7的二項展開式的通項公式知，含x^-1的項是第4項（r=3），從而求得該項的二項式系數．

解答： 解：由于 (4

3	x

-

1

5x

)5的展開式的通項為Tr+1=

C

r 5

(4

3	x

)5-r(-

1

5x

)r=(-

1

5

)r•45-r

C

r 5

•x

10-5r

6

，(r=0，1，2，3，4，5)，
若它為常數項，則

10-5r

6

=0，求得r=2，代入上式求得常數項為 T3=27．
即常數項是2⁷，從而可得(

3

x

-

3	x

)n的展開式各項系數和為2ⁿ=2⁷，∴n=7．
同理(

3

x

-

3	x

)7由二項展開式的通項公式知，含x^-1的項是第4項（r=3），
其二項式系數是

C

2 7

=35．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題．