Question

【題目】已知橢圓E：的焦距為2，一條準線方程為x=，A，B分別為橢圓的右頂點和上頂點，點P，Q在的橢圓上，且點P在第一象限．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若點P，Q關于坐標原點對稱，且PQ⊥AB，求四邊形ABCD的面積；

（3）若AP，BQ的斜率互為相反數(shù)，求證：PQ斜率為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見證明

【解析】

（1）由焦距得c，再由準線方程結合a2=b2+c2，可得橢圓方程；（2），由題意可得kPQ=2，即直線PQ方程為y=2x，與橢圓方程聯(lián)立解得|PQ|，可得四邊形ABCD的面積；（3）設直線AP的斜率為k（k＜0），則直線AP方程y=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立得P點坐標，利用直線AN斜率與AM斜率互為相反數(shù)，將k換為-k，可求N的坐標，再利用斜率計算公式即可得出PQ斜率為定值.

(1)由題意可得：，， ，

解得：，，.

橢圓的標準方程為：.

(2) ，

點關于坐標原點對稱，且，

.可得直線的方程為：.

聯(lián)立，解得，.

.

四邊形的面積.

(3)證明：設 ， .

設直線的斜率為， ，則直線方程為：，

聯(lián)立，化為：，

，解得，.

的斜率互為相反數(shù)， 直線的斜率為 ，直線方程為：.

聯(lián)立，化為：，

，.

斜率為定值.