Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形, .

（1）求證：平面平面；

（2）若，求銳角二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，連接，易得即可得平面，

（2）直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

試題解析：

（1）取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>是邊長為的菱形，所以，

因?yàn)?/span>,所以是等邊三角形，

所以,

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

(2)因?yàn)?/span>，所以，

由（1）知，平面平面，所以平面，

所以直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，

由，取，得，

設(shè)平面的法向量為，

由，取，得，

所以，由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.