Question

【題目】已知圓與軸相切于點(diǎn)，且被軸所截得的弦長(zhǎng)為，圓心在第一象限.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)△的面積最小時(shí)，求切線的方程.

Answer 1

【答案】（I）；（II）或.

【解析】

（Ⅰ）由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，1），則半徑為r=a（a＞0），再由圓被x軸所截得的弦長(zhǎng)為2，利用垂徑定理求得a=2，則圓C的方程可求；

（Ⅱ）P為直線l：2x+y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓C的切線，切點(diǎn)為B，可知，要使△PBC的面積最小，則|PB|最小，也就是|PC|最小，此時(shí)CP⊥l，求出CP所在直線方程，與直線l聯(lián)立解得P（﹣2，﹣1），設(shè)切線方程為y+1=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1=0，再由圓心到切線的距離等于半徑求得k，則切線PB的方程可求．

解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)圓心的坐標(biāo)為，其中，圓的半徑為，

因?yàn)閳A被軸所截得的弦長(zhǎng)為，

又點(diǎn)到軸的距離為，

則，

解得.

所以圓的方程為.

（Ⅱ）因?yàn)椤?/span>的面積

.

故當(dāng)最小時(shí)，△的面積最小.

由于點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，

則當(dāng)時(shí)，最小.

由于直線的斜率為，則直線的斜率為.

直線的方程為，即.

由解得

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)直線的方程為，即.

由于直線是圓的切線，

則點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，即.

解得或.

所以切線的方程為或.

另法：（Ⅰ）依題意，可設(shè)圓心的坐標(biāo)為，其中，圓的半徑為，

則圓的方程為.

令，得

因?yàn)閳A被軸所截得的弦長(zhǎng)為，

則，

解得.所以圓的方程為

（Ⅱ）因?yàn)椤?/span>的面積

.

故當(dāng)最小時(shí)，△的面積最小.

由于點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則

.

當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)直線的方程為，即.

由于直線是圓的切線，

則點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，即.

解得或.

所以切線的方程為或.