Question

某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代號t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

b

=

n i=1 (ti- . t )(yi- . y )

n i=1 (ti- . t )2

，

a

=

.

y

-

b

.

t

．

Answer 1

考點(diǎn)：線性回歸方程

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，橫標(biāo)和縱標(biāo)的積的和，與橫標(biāo)的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程．
（Ⅱ）根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，代入所給的t的值，預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入，這是一個(gè)估計(jì)值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，

.

t

=

1

7

×（1+2+3+4+5+6+7）=4，

.

y

=

1

7

×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴

b

=

(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6

9+4+1+0+1+4+9

=

14

28

=0.5，

a

=

.

y

-

b

.

t

=4.3-0.5×4=2.3．
∴y關(guān)于t的線性回歸方程為

∧

y

=0.5t+2.3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
將2015年的年份代號t=9代入

∧

y

=0.5t+2.3，得：

∧

y

=0.5×9+2.3=6.8，
故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元．

點(diǎn)評：本題考查線性回歸分析的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個(gè)題目做對的必備條件，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．