Question

在數(shù)列{a_n}中a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），a₁=2，
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，由此能證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項公式
．
（2）由an=n•2n，由錯位相減法能求出{a_n}前n項和S_n．

解答： 解：（1）在數(shù)列{a_n}中，
∵a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），a₁=2，
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，…（2分）
∴數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，…（4分）

an

2n

=1+(n-1)=n，
∴an=n•2n．…（6分）
（2）∵an=n•2n，
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，…①
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，…②…（8分）
由①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，…（10分）
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題．