Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

e2x

x-1

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥2時(shí)，f′（x）≥af（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；
（2）對(duì)于恒成立的問題，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于參數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），
f′(x)=

e2x(2x-3)

(x-1)2

，
由f′(x)=

e2x(2x-3)

(x-1)2

＞0解得x＞

3

2

，
由f′（x）＜0解得x＜

3

2

且x≠1，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(

3

2

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，1)，(1，

3

2

)．
（2）由（1）知

e2x(2x-3)

(x-1)2

≥a•

e2x

x-1

恒成立，
即a≤

2x-3

x-1

，
令g(x)=

2x-3

x-1

，
則g′(x)=

1

(x-1)2

＞0，
因此g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，于是g（x）≥g（2）=1
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想、考查基本不等式的應(yīng)用與運(yùn)算求解能力，屬于難題．