Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=4，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）記b_n=a_n-2n，試判斷數(shù)列求數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？并證明你的判斷；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出b_n=a_n-2n的表達(dá)式，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可；
（Ⅱ）利用分組求和法，進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=4，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）．
∴a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），（n∈N^*）．
即b_n+1=3b_n，
則數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列公比q=3，首項a₁-2=4-2=2；
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列公比q=3，首項a₁-2=4-2=2；
∴b_n=2×3^n-1，即a_n-2n=2×3^n-1，
a_n=2×3^n-1+2n，
則數(shù)列{a_n}的前項和S_n=2（1+3+…+3^n-1）+2（1+2+…n）=2×

1-3n

1-3

+n(n+1)=3ⁿ-1+n（n+1）．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，以及利用分組求和法求出數(shù)列的前n項和，考查學(xué)生的計算能力．