Question

若關于x的方程

3

sinx+cosx=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：方程

3

sinx+cosx=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解，可以將方程轉(zhuǎn)化為：sin（x+

π

6

）=

k

2

，畫出這兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法進行求解；

解答： 解：∵方程

3

sinx+cosx=k，
∴2sin（x+

π

6

）=k，即sinx（x+

π

6

）=

k

2

，
可以令f（x）=sinx（x+

π

6

），h（x）=

k

2

，
∵方程

3

sinx+cosx=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解
∴函數(shù)f（x）和h（x）的圖象有兩個交點，
如下圖：
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

∴h（x）=

k

2

，要使y=f（x）與y=h（x）有兩個交點，
∴y=h（x）在直線m和直線n之間，有兩個交點，
∴

3

2

≤

k

2

＜1，
∴

3

≤k＜2．
故答案為：[

3

，2）．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，函數(shù)的零點的研究就可轉(zhuǎn)化為相應方程根的問題，數(shù)形結合的思想得到了很好的體現(xiàn)．