Question

若關(guān)于x的方程

3

sinx+cosx=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：方程

3

sinx+cosx=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可以將方程轉(zhuǎn)化為：sin（x+

π

6

）=

k

2

，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；

解答： 解：∵方程

3

sinx+cosx=k，
∴2sin（x+

π

6

）=k，即sinx（x+

π

6

）=

k

2

，
可以令f（x）=sinx（x+

π

6

），h（x）=

k

2

，
∵方程

3

sinx+cosx=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
∴函數(shù)f（x）和h（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
如下圖：
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

∴h（x）=

k

2

，要使y=f（x）與y=h（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴y=h（x）在直線m和直線n之間，有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴

3

2

≤

k

2

＜1，
∴

3

≤k＜2．
故答案為：[

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)的零點(diǎn)的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，數(shù)形結(jié)合的思想得到了很好的體現(xiàn)．