Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A₁，A₂是橢圓的兩個長軸端點，過右焦點F的直線l：y=k（x-1）交橢圓C于M、N兩點，P為線段MN的中點，當k=1時，OP的斜率為-

3

4

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

A1N

•

MA2

+

A1M

•

NA2

=12，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將直線方程代入橢圓方程并整理，利用韋達定理求得點P的坐標，再根據(jù)_OP=

yp

xp

=-

3

4

，可得3a²=4b²．在直線l的方程中令y=0得，x=1，可得右焦點F（1，0），c=1．求得a²和b²的值，可得橢圓方程．
（2）聯(lián)立方程組：

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，消元并整理，利用韋達定理，由

A1N

•

MA2

+

A1M

•

NA2

=12求得k的值．

解答： 解：（1）將直線方程y=x-1代入橢圓方程并整理得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程的兩個根，
由韋達定理得：x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂ =

a2-a2•b2

a2+b2

，
y₁+y₂=x₁+x₂-2=

-2b2

a2+b2

，∴x_P =

x1+x2

2

=

a2

a2+b2

，y_P=

y1+y2

2

=

-b2

a2+b2

，
∴k_OP =

yp

xp

=-

b2

a2

=-

3

4

，∴3a²=4b²．
在直線l的方程中令y=0得，x=1，∴F（1，0），∴c=1．
解得：a²=4，b²=3，∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）聯(lián)立方程組：

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，消元并整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
∵△=（-8k²）²-4（4k²+3）（ 4k²-12）=144（k²+1）＞0，
x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

4k2+3

，y₁y₂=

-9k2

4k2+3

．
再由 A₁（-2，0），A₂（2，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

A1N

=（x₂+2，y₂），

MA2

=（2-x₁，-y₁），

A1M

=（x₁+2，y₁），

NA2

=（2-x₂，-y₂），
由

A1N

•

MA2

+

A1M

•

NA2

=12得：（x₂+2）（2-x₁）-y₁y₂+（ x₁+2）（ 2-x₂）-y₁y₂=12，
花間得-2x₁x₂-2y₁y₂+8=12，∴x₁x₂+y₁y₂=-2，
∴

4k2-12

4k2+3

+

-92

4k2+3

=-2，∴-5k²-12=-8k²-6，解得 k²=2，∴k=±

2

，
∴直線l方程為：

2

x-y-

2

=0，或

2

x+y-

2

=0．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關系、韋達定理、兩個向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．