Question

在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點，CD=2，AB=4，AD=BC=

2

，沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如圖，若G為FB的中點．

（1）求證：AG⊥平面BCEF；
（2）求三棱錐G-DEC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AG⊥BF，EF⊥BF，從而EF⊥平面ABF，由此能證明AG⊥平面BCEF．
（2）取EC中點M，連接MC、MD、MG，由已知得DM⊥平面BCEF，由此能求出三棱錐G-DEC的體積．

解答： （1）證明：∵AF=BF，且∠AFB=60°，
∴△ABF是等邊三角形
又∵G是FB的中點，
∴AG⊥BF，
∵翻折前的等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點，
∴EF⊥AB，可得翻折后EF⊥AF，EF⊥BF，
∵AF、BF是平面ABF內(nèi)的相交直線，
∴EF⊥平面ABF
∵AG?平面ABF，∴AG⊥EF，
∵BF、EF是平面BCEF內(nèi)的相交直線，
∴AG⊥平面BCEF．

（2）解：取EC中點M，連接MC、MD、MG，
∵AF∥DE，AF?平面ABF，DE?平面ABF，
∴DE∥平面ABF，
同理可得：CE∥平面ABF，
∵DE、CE是平面DCE內(nèi)的相交直線，
∴平面DCE∥平面ABF，可得AG∥DM，
∵AG⊥平面BCEF，∴DM⊥平面BCEF，
∵MG?平面BCEF，∴DM⊥MG，
∵梯形BFEC中，EC=FG=BG=1，BF∥EC，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，可得EF∥CG
∵EF⊥平面ABF，
∴CG⊥平面ABF，可得CG⊥BG
Rt△BCG中，BG=1，BC=

2

，可得CG=

BC2-BG2

=1
又∵DM=

3

2

CE=

3

2

，CE=1，
∴S△DEC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∴三棱錐G-DEC的體積V_G-DEC=

1

3

×CG×S△DEC=

1

3

×1×

3

4

=

3

12

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．