一個正三棱柱恰好有一個內(nèi)切球（球與三棱柱的兩個底面和三個側(cè)面都相切）和一個外接球（球經(jīng)過三棱柱的6個頂點(diǎn)），則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為（　　）
A、1：3B、1：5
C、1：7D、1：9
考點(diǎn)：球的體積和表面積
專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離
分析：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，當(dāng)球外切于正三棱柱時，球的半徑R1等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為，當(dāng)球外接正三棱柱時，球的圓心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的圓心與正三棱柱兩個底面正三角形構(gòu)成兩個正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內(nèi)切球與外接球表面積之比．
解答： 解：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，其內(nèi)切球的半徑為R
當(dāng)球外切于正三棱柱時，球的半徑R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到對邊的距離即R=
3
3
a，到相對棱的距離是
2
3
3
a
又正三棱柱的高是其內(nèi)切球半徑的2倍，故正三棱柱的高為
2
3
3
a，
 球外接正三棱柱時，球的圓心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的圓心與正三棱柱兩個底面正三角形構(gòu)成兩個正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到頂點(diǎn)的距離
2
3
3
a，棱錐的高為
3
3
a，
故正三棱錐外接球的半徑滿足R22=（
2
3
3
a）2+（
3
3
a）2=
5
3
a2，
∴內(nèi)切球與外接球表面積之比為4（πR2）：（4πR22）=R2：R22=1：5．
故選：B．
點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是常考題型，求內(nèi)切球與外接球的半徑是本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：
（1）sin（-α）cos（-α-π）tan（2π+α）
（2）
sin(180°+α)cos(-α)
tan(-α)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用二分法求出ln（2x+6）+2=3x 在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，CD=2，AB=4，AD=BC=
2
，沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如圖，若G為FB的中點(diǎn)．

（1）求證：AG⊥平面BCEF；
（2）求三棱錐G-DEC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

2014年巴西世界杯剛結(jié)束，某足球協(xié)會為了調(diào)查球迷對本屆世界杯的了解情況，組織了“世界杯你問我答一百問”活動，該協(xié)會從參加活動的球迷（人數(shù)不少于1000人）中隨機(jī)抽取12名球迷．進(jìn)行世界杯知識問卷測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如右圖所示，根據(jù)主辦方標(biāo)準(zhǔn)．測試成績低于80分的為“偽球迷”，不低于80分的為“真球迷”．
（1）寫出測試成績的中位數(shù)和平均數(shù)，并根據(jù)所求數(shù)據(jù)對參加活動的球迷情況進(jìn)行評估：
（2）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若再這批球迷中任選4人進(jìn)行世界杯知識問卷調(diào)查，求至多有1人是“真球迷”的概率．
（3）從抽取的12名球迷中隨機(jī)選取3人，記ξ表示“真球迷”的人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)P在線段AD′上運(yùn)動，則異面直線CP與BA′所成的角θ的取值范圍是（　　）
A、0＜θ＜
π
2
B、0＜θ≤
π
2
C、0≤θ≤
π
3
D、0＜θ≤
π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且
cosA
cosB
=
2c-a
b
．
（1）求角B；
（2）若a+c=3
3
，S△ABC=
3
3
2
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+10n+11，試作出其圖象，并判斷數(shù)列的增減性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知cos（60°+α）=
1
3
，且α為第三象限角，則cos（30°-α）+sin（30°-α）的值為（　　）
A、
-2
2
-1
3
B、
2
2
+1
3
C、
-2
2
+1
3
D、
2
2
-1
3

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同步練習(xí)冊答案