Question

若函數(shù)f（x）=lnx，若對所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：方法一、由題意得轉(zhuǎn)化為：x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，分離出a后構(gòu)造函數(shù)h（x）=

xlnx

x-1

，利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)在[e，+∞）上的最小值；
方法二、由xlnx≥ax-a構(gòu)造函數(shù)h（x）=xlnx-ax+a，利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）在[e，+∞）上的最小值，需要對a進(jìn)行分類討論．

解答： 解法一、由題意得，x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，即a≤

xlnx

x-1

，
令h（x）=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞），
則h′（x）=

(xlnx)′(x-1)-xlnx

(x-1)2

=

x-lnx-1

(x-1)2

，
∵當(dāng)x≥e時(shí)，（x-lnx-1）′=1-

1

x

＞0，
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，即h′（x）＞0，
則h（x）在[e，+∞）上遞增，故h（x）_min=h（e）=

e

e-1

，
∴a≤

e

e-1

；
解法二、由xlnx≥ax-a得，xlnx-ax+a≥0，
令h（x）=xlnx-ax+a，則當(dāng)在[e，+∞）上時(shí)，h（x）_min≥0，
則h′（x）=lnx+1-a，由h′（x）=0得x=e^a-1，
當(dāng)0＜x＜e^a-1時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞e^a-1時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e^a-1）上單調(diào)遞減，在（e^a-1，+∞）上單調(diào)遞增，
①當(dāng)a≤2時(shí)，e^a-1≤e
∴h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（e）=e-ae+a≥0，即a≤

e

e-1

，
②當(dāng)a＞2時(shí)，h（e）≥0，即e-ae+a≥0，得e+a≥ae，
若2＜a＜e，則e+a＜2e＜ae；若a≥e，則e+a≤2a＜ae，
∴a＞2不成立，
綜上所述a≤

e

e-1

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求單調(diào)性和最值等綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和分離常數(shù)方法．