Question

設f（x）=mx²+（3-m）x-4（m∈R）
（1）若f（x）的極值點在y軸上，求m的值；
（2）求關于x的方程f（x）=0有正根的充要條件．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數的關系,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：（1）先求解導數，然后，利用x=0是該方程的根，建立等式進行求解；
（2）根據一元二次方程有正實根的條件建立不等式組，求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）的極值點在y軸上，
f′（x）=2mx+（3-m）=0，x=0是該方程的根，
∴m=3，
（2）∵mx²+（3-m）x-4=0有正根，
∴當m=0時，此時x=

4

3

，符合題意，
當m≠0時，若方程有兩個正實根，
此時滿足：

△≥0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，
∴m≤-9，
若方程有一個正實根，一個負實根時，
則

△＞0 x1•x2＜0

，
∴

(m-3)2+16m＞0 - 4 m ＜0

，
∴

m＜-9或m＞-1 m＞0

，
∴m＞0，
綜上，m≤-9或m＞0
∴m∈（-∞，-9]∪（0，+∞）．

點評：本題重點考查了二次函數的極值點問題，二次方程的根與系數的關系等知識，屬于中檔題，注意問題的等價轉化．