Question

【題目】已知橢圓的離心率是，且過(guò)點(diǎn).直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的最大值；

（Ⅲ）設(shè)直線(xiàn)， 分別與軸交于點(diǎn)， .判斷， 大小關(guān)系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

(1)由題意求得 ，所以橢圓的方程為．

(2) 聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ．即的面積的最大值是．

(3)結(jié)論為．利用題意有．所以．

試題解析：

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為．

因?yàn)闄E圓的離心率是，

所以 ， 即 ．

由 解得

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）將代入，

消去整理得．

令，解得．

設(shè)．

則， ．

所以

．

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．

所以的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ．

所以的面積的最大值是．

（Ⅲ）．證明如下：

設(shè)直線(xiàn)， 的斜率分別是， ，

則．

由（Ⅱ）得

，

所以直線(xiàn)， 的傾斜角互補(bǔ)．

所以，

所以．

所以．