Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，D是AB中點，AA₁=AC=BC=

5

6

AB=5．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）在線段BC₁上是否存在一點M，使得二面角M-A₁D-C的余弦值為

38

19

，若存在，求出BM的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC₁交A₁C于點E，則點E是AC₁的中點，連接DE，又D是AB中點，利用三角形的中位線定理可得：DE∥BC₁．再利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）取A₁B₁的中點F，可得DF⊥平面ABC，由于AA₁=AC=BC=

5

6

AB=5，可得CD⊥AB，AB=6．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．假設(shè)在線段BC₁上存在一點M，使得二面角M-A₁D-C的余弦值為

38

19

．設(shè)

BM

=λ

BC1

，（0≤λ≤1）．可得

DM

=

DB

+λ

BC1

=（3-3λ，4λ，5λ）．利用平面的法向量的夾角即可得出．

解答： （1）證明：連接AC₁交A₁C于點E，
則點E是AC₁的中點，連接DE，
∵D是AB中點，∴DE∥BC₁．
∵DE?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（2）解：取A₁B₁的中點F，
則DF⊥平面ABC，
∴DF⊥AB，DF⊥DC．
∵AA₁=AC=BC=

5

6

AB=5，
∴CD⊥AB，AB=6．
∴B（3，0，0），C（0，4，0），A₁（-3，0，5），C₁（0，4，5）．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
假設(shè)在線段BC₁上存在一點M，使得二面角M-A₁D-C的余弦值為

38

19

．
設(shè)

BM

=λ

BC1

，（0≤λ≤1）．
∴

DM

=

DB

+λ

BC1

=（3，0，0）+λ（-3，4，5）=（3-3λ，4λ，5λ）．
設(shè)平面DMA₁的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁）．
則

m • DA1 =-3x1+5z1=0 m • DM =(3-3λ)x1+4λy1+5λz1=0

，
令x₁=5，則z₁=3，y₁=-

15

4λ

．
∴

m

=(5，-

15

4λ

，3)．
設(shè)平面CDA₁的法向量

n

=（x₂，y₂，z₂）．
則

n • DC =4y2=0 n • DA1 =-3x2+5z2=0

，令x₂=5，解得y₂=0，z₂=3．
∴

n

=（5，0，3）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

34

34 • 34+(- 15 4λ )2

=

38

19

．
解得λ=

15

68

．
因此在線段BC₁上存在一點M(

159

68

，

30

34

，

75

68

)，使得二面角M-A₁D-C的余弦值為

38

19

，
|

BM

|=

15

68

×|

BC1

|=

15

68

×

(-3)2+42+52

=

75 2

68

．

點評：本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理，考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量的夾角求二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．