Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），短軸長(zhǎng)為2

3

，離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（|k|≤

1

2

）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

2b=2 3 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出|OP|的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），短軸長(zhǎng)為2

3

，離心率為

1

2

，
∴

2b=2 3 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

，
由于點(diǎn)P在橢圓C上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，
從而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，
化簡(jiǎn)，得4m²=3+4k²，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足（*）式，
又|OP|=

x2+y2

=

4- 3 3+4k2

，
∵|k|≤

1

2

，∴3≤4k²+3≤4，∴

3

4

≤

3

4k2+3

≤1，
∴

3

≤|OP|≤

13

2

，
∴所求|OP|的取值范圍是[

3

，

13

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段的求值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．