Question

已知反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線．
（1）求雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)A₁、A₂為雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M（x₀，y₀）、N（y₀，x₀）是雙曲線C上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求直線A₁M與A₂M交點(diǎn)的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線l過點(diǎn)P（0，4），且與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)Q．當(dāng)

PQ

=λ₁

OA

=λ₂

OB

，且λ₁+λ₂=-8時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線，即可求雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)與焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出直線A₁M與A₂M方程，兩式相乘，將y₀=

1

x0

代入，即可求直線A₁M與A₂M交點(diǎn)的軌跡E的方程；
（3）將x=

y-4

k

代入y=

1

x

，得y²-4y-k=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

PQ

=λ₁

OA

=λ₂

OB

，且λ₁+λ₂=-8，求出k的值，即可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）頂點(diǎn)：A₁（-1，-1）、A₂（1，1），--------------------------------------（2分）
焦點(diǎn)：F₁（-

2

，-

2

）、F₂（

2

，

2

）．--------------------------------------（4分）
（2）A₁M：y+1=

y0+1

x0+1

（x+1），A₂N：y-1=

x0-1

y0-1

（x-1）--------------（2分）
兩式相乘，得y²-1=

y0+1

x0+1

•

x0-1

y0-1

（x²-1）．--------------------------------------（2分）
將y₀=

1

x0

代入上式，得y²-1=-（x²-1），即x²+y²=2．----------------------------（3分）
即直線A₁M與A₂N交點(diǎn)的軌跡E的方程為x²+y²=2（x≠±1）．--------------------（1分）
（3）將x=

y-4

k

代入y=

1

x

，得y²-4y-k=0，--------------------------------------（1分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4，y₁y₂=-k-----------------------------------------（1分）
∵

PQ

=λ₁

OA

=λ₂

OB

，
∴（-

4

k

，-4）=λ₁（x₁+

4

k

，y₁）=λ₂（x₂+

4

k

，y₂）=-----------------------------------------（1分）
∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂，
∴λ₁=-

4

y1

，λ₂=-

4

y2

．
又λ₁+λ₂=-8，
∴-

4

y1

-

4

y2

=-8，
∴y₁+y₂=2y₁y₂．
∴4=-2k，
∴k=-2，--------------------------------------（2分）
∴Q（2，0）．--------------------------------------（1分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查向量知識的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．