Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-1|，（a＞0），且f（0）=2，
（1）求a的值及f[f（2）]；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若g（x）=f（x）+x²，求g（x）的最小值，并求取最小值時x的取值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）代入計算即可；
（2）利用偶函數(shù)的定義即可；
（3）利用零點分段法，把g（x）進行分段，并觀察各段上的最小值，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x+a|+|x-1|，（a＞0），且f（0）=2，
∴|0+a|+|0-1|=2，解得a=1，
∵f（2）=|2+1|+|2-1|=4，f（4）=|4+1|+|4-1|=8，
∴f[f（2）]=8；
（2）f（x）為偶函數(shù)，
證明∵f（x）=|x+1|+|x-1|，
∴f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）∵g（x）=f（x）+x²，
∴g（x）=|x+1|+|x-1|+x²
∴g（x）=

x2-2x， x≤-1 x2+2，-1＜x＜1 x2+2x，x≥1

，
∴g(x)=

(x-1)2-1，x≤-1 x2+2，-1＜x＜1 (x+1)2-1，x≥1

∴當x=0時，g（x）有最小值，最小值為2．

點評：本題考查了含有絕對值的函數(shù)值的求法，函數(shù)奇偶性證明，分段函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．