Question

【題目】已知函數的最小值為0，其中，設．

（1）求的值；

（2）對任意，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）討論方程在上根的個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）由圖像知時有一個根，時無根．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數的定義域，并求出其導函數，然后令求出極值點，并判斷導函數的符號進而得出函數取得極值，進而得出其最小值，即可得出結果；（2）首先將問題轉化為對恒成立，于是構造函數，再利用導數判斷其單調性，最后得出實數的取值范圍；（3）首先將問題轉化為，然后轉化為，最后利用導數和函數的圖像即可得出所求的結果

試題解析：（1）的定義域為．

由，解得x＝1－a＞－a．

當x變化時，，的變化情況如下表：

x	（－a,1－a）	1－a	（1－a，＋∞）
	－	0	＋
		極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以．

（2）由知對恒成立

即是上的減函數．

對恒成立，對恒成立

，

（3）由題意知，

由圖像知時有一個根，時無根

或解： ，，又可求得時．在時 單調遞增．時， ，時有一個根，時無根．