Question

【題目】已知橢圓的離心率為，經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)為2.

（1）求橢圓的的方程；

（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓上是否存在一條切線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，且直線與的斜率的乘積為？若存在，求切線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：第一問(wèn)利用題中所給的橢圓的離心率，以及焦點(diǎn)弦中通徑最短的結(jié)論，以及橢圓中三者之間的關(guān)系求得橢圓的方程；第二問(wèn)先設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，得到系數(shù)之間的關(guān)系，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)題的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，最后求得結(jié)果即可.

詳解：（1）由題意有：；

（2）設(shè)切線方程為，則有，

聯(lián)立方程有：，

斜率乘積為，

代入有：，

所以，或，①時(shí)，；②時(shí)，；

③時(shí)，；④時(shí)，；

所以直線為.