Question

【題目】已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)在線段上，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）動(dòng)直線與交于不同的兩點(diǎn)，，且的面積為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在線段上，且，得到，的坐標(biāo)，再由建立x，y方程即可所求.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)在橢圓上和，求得坐標(biāo)即可，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入方程中，利用弦長(zhǎng)公式求得，點(diǎn)到直線的距離，由得到k，m的關(guān)系，再利用韋達(dá)定理求解即可.

（1）設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且，

所以，，

因?yàn)?/span>，

所以，

即，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

所以，.

因?yàn)?/span>，在橢圓上，所以有，

又因?yàn)?/span>，

所以，

解得，，

此時(shí)，，

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由題意.

將代入方程中，

整理得，

①

，，

則.

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，

所以，

得且符合①式，

此時(shí)，，

，

所以，

綜上所述，（定值）