【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).
(1)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PC.∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=.
∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.
∵AC平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(2)如圖,以點(diǎn)C為原點(diǎn),,,分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),設(shè)P(0,0,a)(a>0),
則E,=(1,1,0),=(0,0,a),=.取m=(1,-1,0),則m·=m·=0,m為面PAC的法向量.設(shè)n=(x,y,z)為面EAC的法向量,則n·=n·=0,即取x=a,y=-a,z=-2,則n=(a,-a,-2),依題意,|cos〈m,n〉|===,則a=2.于是n=(2,-2,-2),=(1,1,-2).設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,則sin θ=|cos〈,n〉|==,即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=﹣ x3+x2+(m2﹣1)x,(x∈R),其中m>0.
(1)當(dāng)m=1時(shí),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞增的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=x2+1
C.f(x)=x3
D.f(x)=2﹣x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲(水生植物名)生一日,長三尺;莞(植物名,俗稱水蔥、席子草)生一日,長一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?”意思是:今有蒲生長1日,長為3尺;莞生長1日,長為1尺.蒲的生長逐日減半,莞的生長逐日增加1倍.若蒲、莞長度相等,則所需的時(shí)間約為( )(結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù):,)( )
A. 1.3日 B. 1.5日 C. 2.6日 D. 2.8日
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市根據(jù)地理位置劃分成了南北兩區(qū),為調(diào)查該市的一種經(jīng)濟(jì)作物(下簡稱 作物)的生長狀況,用簡單隨機(jī)抽樣方法從該市調(diào)查了 500 處 作物種植點(diǎn),其生長狀況如表:
其中生長指數(shù)的含義是:2 代表“生長良好”,1 代表“生長基本良好”,0 代表“不良好,但仍有收成”,﹣1代表“不良好,絕收”.
(1)估計(jì)該市空氣質(zhì)量差的作物種植點(diǎn)中,不絕收的種植點(diǎn)所占的比例;
(2)能否有 99%的把握認(rèn)為“該市作物的種植點(diǎn)是否絕收與所在地域有關(guān)”?
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提供更好的調(diào)查方法來估計(jì)該市作物的種植點(diǎn)中,絕收種植點(diǎn)的比例?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2+ax﹣2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)當(dāng)a=0時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng) 時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
⑴ 若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
⑶ 設(shè),若對, ,使得成立,求整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)入射光線沿直線y=2x+1射向直線y=x,則被y=x反射后,反射光線所在的直線方程是( )
A.x﹣2y﹣1=0
B.x﹣2y+1=0
C.3x﹣2y+1=0
D.x+2y+3=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求證: ;
(2)對任意,存在,使成立,求的取值范圍.(其中是自然對數(shù)的底數(shù), )
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