Question

在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且S_△ABC=a²-（b-c）²，則tan

A

2

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：已知等式左邊利用三角形面積公式化簡(jiǎn)，左邊先利用完全平方公式展開(kāi)，并利用余弦定理變形，再根據(jù)二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)即可求出tan

A

2

．

解答： 解：∵S_△ABC=a²-（b-c）²，S_△ABC=

1

2

bcsinA，2bccosA=b²+c²-a²，
∴

1

2

bcsinA=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=2bc-（b²+c²-a²）=2bc-2bccosA，
整理得：

1

2

sinA=2-2cosA，即sinA=4-4cosA=4（1-cosA），
整理得：2sin

A

2

cos

A

2

=4×2sin²

A

2

，即cos

A

2

=4sin

A

2

，
則tan

A

2

=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．