Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=4x+a2x+3，a∈R．
（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，且x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣4時(shí)，令t=2x，

由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t2﹣4t+3=（t﹣2）2﹣1

當(dāng)t=2時(shí)，ymin=﹣1；當(dāng)t=4時(shí)，ymax=3．

∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣1，3]

（2）解：令t=2x，由x＞0知t＞1，且函數(shù)t=2x在（0，+∞）單調(diào)遞增．

∴原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程t2+at+3=0在（1，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍．

設(shè)g（t）=t2+at+3，則 ，即 ，解得 ．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】（1）把a(bǔ)=﹣4代入函數(shù)解析式，換元后利用配方法求函數(shù)f（x）的值域；（2）令t=2x ， 由x的范圍得到t的范圍，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程t2+at+3=0在（1，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍．然后結(jié)合該二次方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象與t軸的交點(diǎn)列不等式組求解a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，以及對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的理解，了解二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．