Question

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2

6

，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長為2

2

．
（Ⅰ）畫出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）證明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意，可得AP、AC、AB兩兩垂直，因此側(cè)視圖的形狀就是△PAB，根據(jù)△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，作出側(cè)視圖如圖所示，結(jié)合題中數(shù)據(jù)不難得到它的面積；
（II）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，證出AC⊥面PAB，結(jié)合AC是平面PAC內(nèi)的直角，證出面PAC⊥面PAB；
（III）由PA⊥面ABC，得∠PCA為直線PC與底面ABC所成的角，然后在Rt△PAC中，算出PC的長，利用三角的定義算出cos∠PCA=

15

5

，即得直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

解答：解：（I）根據(jù)題意，側(cè)視圖的形狀就是△PAB，因此作出側(cè)視圖如右圖所示
∵側(cè)視圖是一個高等于4，底等于2

2

的直角三角形
∴側(cè)視圖的面積S=

1

2

×4×2

2

=4

2

；
（Ⅱ）∵PA⊥面ABC，AC?面ABC，
∴PA⊥AC，
又∵由俯視圖知AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥面PAB
∵AC?面PAC，∴面PAC⊥面PAB
（Ⅲ）∵PA⊥面ABC，∴∠PCA為直線PC與底面ABC所成的角
∵在Rt△PAC中，PA=4，AC=2

6

，
∴PC=

PA2+AC2

=2

10

，
可得cos∠PCA=

AC

PC

=

2 6

2 10

=

15

5

，
即直線PC與底面ABC所成角的余弦值等于

15

5

．

點評：本題給出三棱錐的三視圖，求一個側(cè)面的面積并證明面面垂直．著重考查了三視圖的理解與認識面面垂直的判定與性質(zhì)和線面角的定義與求法等知識，屬于中檔題．