Question

2．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)函數(shù)f（x）能取得最小值，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)函數(shù)y=f（x）能取得最大值，且f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調(diào)．則當(dāng)ω取最大值時(shí)φ的值為-$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)f（x）取得最小值，x=$\frac{π}{4}$時(shí)f（x）取得最大值，得出（n+$\frac{1}{2}$）•T=$\frac{π}{2}$，求出T以及ω的值；再由f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調(diào)，得出T以及ω的取值；討論ω的取值，求出滿足條件的ω的最大值以及對應(yīng)φ的值．

解答 解：當(dāng)x=-$\frac{π}{4}$時(shí)f（x）能取得最小值，x=$\frac{π}{4}$時(shí)f（x）能取得最大值，
∴（n+$\frac{1}{2}$）•T=$\frac{π}{4}$-（-$\frac{π}{4}$），
即T=$\frac{π}{2n+1}$，（n∈N）
解得ω=4n+2，（n∈N）
即ω為正偶數(shù)；
∵f（x）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）上單調(diào)，
∴$\frac{5π}{36}$-$\frac{π}{18}$=$\frac{π}{12}$≤$\frac{T}{2}$，
即T=$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{6}$，
解得ω≤12；
當(dāng)ω=12時(shí)，f（x）=cos（12x+φ），
且x=-$\frac{π}{4}$，12×（-$\frac{π}{4}$）+φ=-π+2kπ，k∈Z，
由|φ|≤$\frac{π}{2}$，得φ=0，
此時(shí)f（x）=cos12x在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）不單調(diào)，不滿足題意；
當(dāng)ω=10時(shí)，f（x）=cos（10x+φ），
且x=-$\frac{π}{4}$，10×（-$\frac{π}{4}$）+φ=-π+2kπ，k∈Z，
由|φ|≤$\frac{π}{2}$，得φ=-$\frac{π}{2}$，
此時(shí)f（x）=cos（10x-$\frac{π}{2}$）在（$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{36}$）單調(diào)，滿足題意；
故ω的最大值為10，此時(shí)φ的值為-$\frac{π}{2}$．
故答案為：-$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應(yīng)用問題，難度較大．