Question

設(shè)f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，若△ABC的內(nèi)角A滿(mǎn)足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=

1

3

，則cos2A的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知，f₁（x）=cosx，f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃′（x）=sinx，f₅（x）=f₄′（x）=cosx，發(fā)現(xiàn)f_n（x）以4為周期，結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，利用此規(guī)律將2014轉(zhuǎn)化為n=1，2的情況求解．

解答： 解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
從第五項(xiàng)開(kāi)始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₄（x）=f_4×503+2（x）=f₁（x）+f₂（x）=cosx-sinx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=

1

3

，
∴cosA-sinA=

1

3

，
∴1-2sinAcosA=

1

9

，
∴2sinAcosA=

8

9

，
cosA＞0，sinA＞0，
∴(cosA+sinA)2=

17

9

∴cosA+sinA=

17

3

∴cos2A-sin2A=

1

3

×

17

3

=

17

9

即cos2A=

17

9

故答案為：

17

9

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)根據(jù)條件歸納總結(jié)得到結(jié)論，并利用得到的結(jié)論解決問(wèn)題．