Question

設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)A（1，0），M是直線l：x=2上的點(diǎn)，過點(diǎn)A作OM的垂線，垂足為R，且所作的垂線與以O(shè)M為直徑的圓C交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）若PQ=

6

，求圓C的方程；
（2）若M是直線l上的動點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在定圓上，并求該定圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓C與x軸相交與點(diǎn)N，利用射影定理得：OQ²=OR•OM，QR²=OR•RM=(

6

2

)2=

3

2

，由△OAR∽△OMN，可得

OA

OM

=

OR

ON

，可求得OQ=

2

，OR=

OQ2-RQ2

=

2

2

，
OM=2

2

，進(jìn)一步可求得M（2，2），于是可求圓C的方程方程為：（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）由（1）OP²=OQ²=OR•OM=OF•OA=2，可求得OP=

2

，于是可知P在以O(shè)為圓心，

2

為半徑的圓上，繼而可得定圓方程為：x²+y²=2．

解答： 解：∵OM為圓C的直徑，PQ⊥OM，且PQ=

6

，設(shè)圓C與x軸相交與點(diǎn)N，
由射影定理得：OQ²=OR•OM，QR²=OR•RM=(

6

2

)2=

3

2

，△OAR∽△OMN，
∴

OA

OM

=

OR

ON

，即
OA•ON=OR•OM=2，∴OQ=

2

，OR=

OQ2-RQ2

=

2

2

，
∴OM=2

2

，MN=

OM2-ON2

=2，
∴M（2，2），∴圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）由（1）OP2=OQ2=OR•OM=OF•OA=2，∴OP=

2

，
∴P在以O(shè)為圓心，

2

為半徑的圓上，
∴定圓方程為：x²+y²=2．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程及其應(yīng)用，考查射影定理及相似三角形的應(yīng)用，求得圓C的方程是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，考查分析．運(yùn)算能力，屬于難題．