Question

已知f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1]，t∈[4，6）時，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）有最小值4，則a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把f（x）和g（x）代入到F（x），然后利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，再運(yùn)用基本不等式即可．

解答： 解：∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），x∈[0，1），t∈[4，6）時，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）有最小值是4，
∴F（x）=g（x）-f（x）=

log	(2x+t)2 x+1 a

，x∈[0，1），t∈[4，6），
∵a＞1，
∴令h（x）=

(2x+t)2

x+1

=

[2(x+1)+(t-2)]2

x+1

=4（x+1）+4（t-2）+

(t-2)2

x+1

，
∵0≤x＜1，4≤t＜6，
∴h（x）=4（x+1）+

(t-2)2

x+1

+4（t-2）在[0，1）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（0）=4+（t-2）²+4（t-2）=[（t-2）+2]²=t²，
∴F（x）_min=log_at²=4，
∴a⁴=t²；
∵4≤t＜6，
∴a⁴=16，
∴a=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：此題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，要求學(xué)生靈活運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，熟練運(yùn)用化歸思想解決恒成立問題，易錯點(diǎn)轉(zhuǎn)化為a⁴≤在于h（x）=4（x+1）+

(t-2)2

x+1

+4（t-2），該先把最小值解出，再令它等于4，轉(zhuǎn)化為在t∈[4，6）上有解，屬于難題．