Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=

3

2

S_n+1（n∈N^*）．設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為T_n，求滿足不等式T_n＜

12

Sn+2

的n值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以

2

3

為公比的等比數(shù)列．再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得S_n，T_n，代入不等式T_n＜

12

Sn+2

求解n的值．

解答： 解：由S_n+1=

3

2

S_n+1（n∈N^*），得Sn=

3

2

Sn-1+1(n≥2)，
作差得：an+1=

3

2

an(n≥2)．
∵a₁=1，代入S_n+1=

3

2

S_n+1，得a1+a2=

3

2

a1+1，
∴a2=

3

2

．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，
則數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以

2

3

為公比的等比數(shù)列．
則Sn=

1-( 3 2 )n

1- 3 2

=2•(

3

2

)n-2，Tn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3-3•(

2

3

)n．
由T_n＜

12

Sn+2

，得3-3•(

2

3

)n＜

12

2•( 3 2 )n-2+2

=6•(

2

3

)n．
即(

2

3

)n＞

1

3

．
當(dāng)n=1，2時(shí)上式成立，
當(dāng)n≥3時(shí)不成立．
∴滿足不等式T_n＜

12

Sn+2

的n值為1，2．

點(diǎn)評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的解法，是中檔題．