Question

已知在與處都取得極值.
（1）求，的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得、，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)條件，可得，由在與處都取得極值，可知，故可建立關(guān)于的二元一次方程組，從而解得，此時(shí)，需要代回檢驗(yàn)是否確實(shí)是的極值點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，從而；（2）由（1）可得由（1）知：函數(shù)在上遞減，
∴ ，因此問題就等價(jià)于求使當(dāng)時(shí)，恒成立的的取值范圍，而二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是，因此需對(duì)的取值作出以下三種情況的分類討論：①：；②：；③，分別用含的代數(shù)式表示上述三種情況下的最小值表示出來，從而可以建立關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的取值范圍為.
試題解析：（1）∵，∴.         1分
∵在與處都取得極值，
∴，∴          4分
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)在與處都取得極值，∴         6分；
（2）由（1）知：函數(shù)在上遞減，
∴            8分，
又 ∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是，
①：當(dāng)時(shí)：，顯然有成立， ∴ .
②：當(dāng)時(shí)：，∴， 解得：，
又∵ ，∴.
③：當(dāng)時(shí)：，∴ ， ∴， 又，∴
綜上所述：           12分，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為         13分.
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用；2.二次函數(shù)與恒成立問題.