Question

8．設(shè)F是橢圓$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)$A（\frac{1}{2}，1）$，M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)$\sqrt{7}MA+7MF$取最小值時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{210}}{6}$，1）．

Answer 1

分析 首先利用橢圓的第二定義把關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用橢圓的方程求出離心率及準(zhǔn)線方程，利用三點(diǎn)共線求的最小值及對(duì)應(yīng)的M的坐標(biāo)．

解答 解：由橢圓的第二定義：$\frac{|MF|}e2o2r2h$=e，
d代表M到右準(zhǔn)線的距離，用|MP|=d，
即有d=$\frac{|MF|}{e}$，
由橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
得a=$\sqrt{7}$，b=$\sqrt{6}$，c=1，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$，右準(zhǔn)線方程為：x=7，|MF|=ed=$\fracid2cgrn{\sqrt{7}}$，
$\sqrt{7}MA+7MF$=$\sqrt{7}$（|MA|+$\sqrt{7}$|MF|）=$\sqrt{7}$（|MA|+d），
即當(dāng)M、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+d取得最小值，
此時(shí)令y=1，可得x=$\sqrt{7×（1-\frac{1}{6}）}$=$\frac{\sqrt{210}}{6}$，
即有M（$\frac{\sqrt{210}}{6}$，1）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{210}}{6}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：橢圓的第二定義，橢圓的離心率，準(zhǔn)線方程，以及三點(diǎn)共線問題，屬于中檔題．