【題目】已知球內(nèi)接正四棱錐的高為相交于，球的表面積為，若為中點(diǎn).

(1)求異面直線(xiàn)和所成角的余弦值；

(2)求點(diǎn)到平面的距離.

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(1) 由球的表面積求出球的半徑R，設(shè)球心為，則必在上，連，根據(jù)球的性質(zhì)有，求解易得底面邊長(zhǎng)以及側(cè)棱長(zhǎng)，則結(jié)論易得；(2)證明平面，則到平面的距離等于到平面的距離，由，則結(jié)論易得.

試題解析：由球的表面積公式，得球的半徑，

設(shè)球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，

連，則，

則在，有，即，可得正方形的邊長(zhǎng)為,

側(cè)棱.

(1)在正方形中， ，所以是異面直線(xiàn)和所成的角或其補(bǔ)角，

取中點(diǎn)，在等腰中，可得，斜高，

則在中， ，

所以異面直線(xiàn)和所成的角的余弦值為；

(2)由為中點(diǎn)，得，

且滿(mǎn)足平面平面，所以平面，

所以到平面的距離等于到平面的距離，

又因?yàn)?/span>,

再設(shè)到平面的距離為，則由，

可得，則，

所以點(diǎn)到平面的距離.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)， 取一切非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，若，求的范圍；

（2）若函數(shù)存在極大值，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨機(jī)抽取高一年級(jí)n名學(xué)生，測(cè)得他們的身高分別是a1 ， a2 ， …，an ， 則如圖所示的程序框圖輸出的s= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心和拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)， 和有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，且的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離成等比數(shù)列。

（Ⅰ）當(dāng)的準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為時(shí)，求及的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交于， 兩點(diǎn)，交于， 兩點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】微信運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)手環(huán)的普及，增強(qiáng)了人民運(yùn)動(dòng)的積極性，每天一萬(wàn)步稱(chēng)為一種健康時(shí)尚，某中學(xué)在全校范圍內(nèi)內(nèi)積極倡導(dǎo)和督促師生開(kāi)展“每天一萬(wàn)步”活動(dòng)，經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的扎實(shí)落地工作后，學(xué)校想了解全校師生每天一萬(wàn)步的情況，學(xué)校界定一人一天走路不足千步為不健康生活方式，不少于千步為超健康生活方式者，其他為一般生活方式者，學(xué)校委托數(shù)學(xué)組調(diào)查，數(shù)學(xué)組采用分層抽樣的辦法去估計(jì)全校師生的情況，結(jié)合實(shí)際及便于分層抽樣，認(rèn)定全校教師人數(shù)為人，高一學(xué)生人數(shù)為人，高二學(xué)生人數(shù)人，高三學(xué)生人數(shù)，從中抽取人作為調(diào)查對(duì)象，得到了如圖所示的這人的頻率分布直方圖，這人中有人被學(xué)校界定為不健康生活方式者.

（1）求這次作為抽樣調(diào)查對(duì)象的教師人數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生每人一天走路步數(shù)的中位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)步）；

（3）校辦公室欲從全校師生中速記抽取人作為“每天一萬(wàn)步”活動(dòng)的慰問(wèn)對(duì)象，計(jì)劃學(xué)校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓勵(lì)元，超健康生活方式者表彰獎(jiǎng)勵(lì)元，一般生活方式者鼓勵(lì)性獎(jiǎng)勵(lì)元，利用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，求這次校辦公室慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額恰好為元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知冪函數(shù)f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試判斷是否存在正數(shù)q，使函數(shù)g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在區(qū)間[﹣1，2]上的值域?yàn)閇﹣4， ]．若存在，求出q的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在（﹣∞，0）上是增函數(shù)的是（ ）
A.y=x
B.y=
C.y=x﹣2
D.y=x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）是增函數(shù)，又f（﹣3）=0，則不等式xf（x）≥0的解集是（ ）
A.{x|﹣3≤x≤3}
B.{x|﹣3≤x＜0或0＜x≤3}
C.{x|x≤﹣3或x≥3}
D.{x|x≤﹣3或x=0或x≥3}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，將曲線(xiàn)（為參數(shù)）上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到曲線(xiàn)；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，它與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為， ，與曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，求的面積.

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