Question

【題目】知函數，，與在交點處的切線相互垂直.

(1)求的解析式；

(2)已知,若函數有兩個零點,求的取值范圍 .

Answer 1

【答案】(1) 。

(2) 或。

【解析】分析：（1）分別求出與在交點處切線的斜率，從而得到答案；

（2）對求導，分類討論即可.

詳解：(1) ，，

又，，與在交點處的切線相互垂直，

,.又在上, ，

故.

(2)由題知

.

①,即時,令,得;

令,得或，

在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,故存在使

.又，，，

在區(qū)間上有一個零點,在區(qū)間上有一個零點,

在區(qū)間上有一個零點,共個零點,不符合題意,舍去.

②時,令,得，令,得或，

在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增，

又,,有兩個零點,符合題意.

③,即時,令,得,

令,得或，

在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增，

，在區(qū)間上存在一個零點,

若要有兩個零點,必有,解得.

④,即時,令,得，令,得或，

在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增，

,在區(qū)間上存在一個零點，

又

，

∴在區(qū)間∴上不存在零點,即只有一個零點,不符合題意.

綜上所述, 或.