Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，D，E，F(xiàn)分別是B1A1 ， CC1 ， BC的中點(diǎn)，AE⊥A1B1 ， D為棱A1B1上的點(diǎn)．

（1）證明：DF⊥AE；
（2）求平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，

∴AB⊥AE，又∵AB⊥AA1，AE∩AA1=A，

∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC面A1ACC1，

∴AB⊥AC，

以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），E（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），

設(shè)D（x，y，z）， =λ ，且λ∈[0，1]，

即（x，y，z﹣2）=λ（2，0，0），∴D（2λ，0，2），

∴ =（1﹣2λ，1，﹣2）， =（0，2，1），

∵ =0+2﹣2=0，

∴DF⊥AE

（2）解： D（1，0，2），E（0，2，1），F(xiàn)（1，1，1），

=（﹣1，2，﹣1）， =（0，1，﹣1），

設(shè)平面DEF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取y=1，得 =（1，1，1），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = ．

∴平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出AB⊥AE，AB⊥AA1 ， 從而AB⊥面A1ACC1 ， 由此能證明AB⊥AC，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DF⊥AE．（2）求出平面DEF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．