已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C．
（1）證明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值時(shí)線段AB的長(zhǎng)．
證明：（Ⅰ）由題設(shè)知，F(xiàn)（
p
2
，0），C（-
p
2
，0），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l方程為x=my+
p
2
，
代入拋物線方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0．
y1+y2=2pm，y1y2=-p2．…（4分）
不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，則
tan∠ACF=
y1
x1+
p
2
=
y1
y12
2p
+
p
2
=
2py1
y12+p2
=
2py1
y12-y1•y2
=
2p
y1-y2
，
同理可得tan∠BCF=
y2
x2+
p
2
=
2p
y1-y2
，
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所設(shè)y1＞0，tan∠ACF=
2py1
y12+p2
≤
2py1
2py1
=1，當(dāng)且僅當(dāng)y1=p時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)∠ACF取最大值
π
4
，
∴∠ACB=2∠ACF取最大值
π
2
，
并且A（
p
2
，p），B（
p
2
，-p），|AB|=2p．…（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過(guò)點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過(guò)點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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