Question

如圖，已知多面體ABC-DEFG，三條棱AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1．
（1）求證：EF⊥平面BEDA；
（2）求多面體ABC-DEFG的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明AC∥EF，AC⊥平面BEDA，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM，則V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}，把一個(gè)不規(guī)則幾何體的體積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三棱柱的體積之和，做出三棱柱的體積相加即可．

解答： （1）證明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ACDG=AC，平面DEFG∩平面ACDG=DG，
∴AC∥DG．
同理DG∥EF，
∴AC∥EF，
∵三條棱AB，AC，AD兩兩垂直，
∴AC⊥平面BEDA，
∴EF⊥平面BEDA；
（2）解：設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM，
則V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}
=DE×S_△ADM+AD×S_△MFG=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．

點(diǎn)評(píng)：本題以不規(guī)則幾何體為載體，考查空間線面關(guān)系的判斷與證明，空間幾何量的計(jì)算，屬于中檔題．