已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)圖象上兩點A(m1，f(m1))、B(m2，f(m2))，且f(x)滿足f(1)=0，a2+［f(m1)+f(m2)］·a+f(m1)·f(m2)=0.

(1)求證：b≥0；

(2)求證：f(x)的圖象被x軸所截得的線段長的取值范圍是［2，3).

(3)問能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一個為正數(shù)？請證明你的結(jié)論.

(1)證明:∵f(m1)、f(m2)滿足a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)f(m2)=0，

即［a+f(m1)］［a+f(m2)］=0，∴f(m1)=-a或f(m2)=-a.

又∵m1或m2是f(x)=-a的一個實根，∴Δ≥0，即b2+4ab≥0，b(b+4a)≥0.

又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0.∴3a-c＞0.∴b+4a=3a-c＞0.∴b≥0.

(2)證明:設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，

則一個根為1，另一個根為，∵a＞0，c＜0，∴＜0.∵a＞b＞c且b=-a-c≥0，∴a＞-a-c＞c.

∴-2＜≤-1，2≤|x1-x2|＜3.

(3)解:設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-).由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a，不妨設(shè)f(m1)=-a，則(m1-1)(m1-)=-a＜0.

∴＜m1＜1.∴m1+3＞+3＞1.∴f(m1+3)＞f(1)=0.∴f(m1+3)＞0.

同理，當(dāng)f(m2)=-a時，有f(m2+3)＞0，

因此f(m2+3)或f(m1+3)中至少有一個為正數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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