Question

已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA在x=

5π

12

處取得最大值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值；
（Ⅱ）若sinB+sinC=

13 3

14

，a=7，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行兩次化簡(jiǎn)整理，得出關(guān)于x的正弦函數(shù)，在利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得A，和f（x）在區(qū)間上的最小值．
（Ⅱ）利用正弦定理表示出用sinA和a，b，c表示出sinB+sinC，求得b+c的值，再利用余弦定理公式求得bc的值，最后通過(guò)三角形面積公式取得三角形的面積．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2cosx（sinxsinA-cosxcosA）+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA
=sin（2x-A）．
∵f（x）在x=

5π

12

處取得最大值，
∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

（k∈Z），即A=

π

3

-2kπ（k∈Z），
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-A∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-A）≤1，
∴函數(shù)f（x）的最小值為-

3

2

．
（2）由正弦定理得sinB+sinC=

bsinA

a

+

csinA

a

=

b+c

a

sinA，
∴

b+c

7

×

3

2

=

13 3

14

，
∴b+c=13，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即49=169-3bc，
∴bc=40，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．綜合考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)．