Question

已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=

1

2

，前n項和為S_n，且a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對n∈N₊，在a_n與a_n+1之間插入3ⁿ個數(shù)，使這3ⁿ+2個數(shù)成等差數(shù)列，記插入的這3ⁿ個數(shù)的和為b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列，列出方程，求出公比，得到通項公式；
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)求出bn=

an+an+1

2

•3n=

3

4

•(

3

2

)n，利用等比數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列，
∴2（a₅+S₅）=（a₄+S₄）+（a₆+S₆）…（2分）
即2a₆-3a₅+a₄=0，
∴2q²-3q+1=0，
∵q≠1，∴q=

1

2

，…（4分）
所以等比數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

1

2n

；…（6分）
（2）bn=

an+an+1

2

•3n=

3

4

•(

3

2

)n，…（9分）
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴Tn=

3

4

•

3 2 -( 3 2 )n+1

1- 3 2

=

9

4

[(

3

2

)n-1]．…（12分）

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于一道中檔題．