Question

設(shè)g（x）是定義在R上、以1為周期的函數(shù)，若f（x）=2x+g（x）在[0，1]上的值域為[-1，3]，則f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把f（x）看成兩個函數(shù)y=2x及y=g（x）的“和”，因為函數(shù)y=2x遞增，y=g（x）以1為周期，因此，結(jié)合周期分別再求出y=f（x）在區(qū)間[1，2]和[2，3]的值域即可得到函數(shù)f（x）在[0，3]上的值域．

解答： 解：設(shè)x∈[1，2]，則x-1∈[0，1]，則f（x）=2x+g（x）=2（x-1）+g（x-1）+2=f（x-1）+2 ①，
∵x∈[0，1]時，f（x）∈[-1，3]，
∴對于①式，f（x-1））∈[-1，3]，∴f（x）=f（x-1）+2∈[1，5]
同理，當x∈[2，3]，則x-2∈[0，1]，則f（x）=2x+g（x）=2（x-2）+g（x-2）+4=f（x-2）+4 ②，
∵x∈[0，1]時，f（x）∈[-1，3]，
∴對于②式，f（x-2）∈[-1，3]，∴f（x）=f（x-2）+4∈[3，7]
綜上，y=f（x）在[0，3]上的值域為[-1，7]．
故答案為[-1，7]

點評：準確理解函數(shù)y=f（x）的值域與y=2x及y=g（x）的值域之間的關(guān)系，不能錯誤的將兩個函數(shù)的值域相加得到函數(shù)y=f（x）的值域．