已知點A（1，0），定直線l：x=-1，B為l上的一個動點，過B作直線m⊥l，連接AB，作線段AB的垂直平分線n，交直線m于點M．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點N（4，0）作直線h與點M的軌跡C相交于不同的兩點P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標原點）．
（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的軌跡為以A為焦點，l為準線的拋物線．
∴M的軌跡方程為y2=4x．
（2）當h⊥x時，h：x=4由
x=4
y2=4x
得y=±4
此時，P（4，4），Q（4，-4）
KOP=1，KOQ=-1∴OP⊥OQ
當h與x軸不垂直時，設l：y=k（x-4）
由
y=k(x-4)
y2=4x
得k2x2-（8k2+4）x+16k2=0
x1?x2=16，y1?y2=-
x11
?
x22
=-16
∴
OA
•
OB
=x1?x2+y1?y2=0
∴OP⊥OQ
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B、C的坐標為B（-2，0），C（2，0），直線AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設頂點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設曲線E與y軸負半軸的交點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與曲線E的另一個交點分別為M，N．設l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=4x焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A，B兩點
（Ⅰ）若線段AB的中點在直線y=1上，求直線l的方程；
（Ⅱ）若線段|AB|=20，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，設點F坐標為（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸運動上，其中
PM
•
PF
=0，若動點N滿足條件
PN
=
MP

（Ⅰ）求動點N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F（1，0）的直線l和l′分別與曲線E交于A、B兩點和C、D兩點，若l⊥l′，試求四邊形ACBD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓Cl的長軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓Cl的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B，直線EA、EB與橢圓C1的另一個交點分別是點P、M．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）（i）設PM的斜率為t，直線l斜率為K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面積最大時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p＞0）上異于頂點的定點，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線上的兩個動點，且直線PA與PB的傾斜角互補
（1）求
y1+y2
y0
的值
（2）證明直線AB的斜率是非零常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面內(nèi)一動點P到點F（2，0）的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大2，
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F且斜率為2
2
的直線交軌跡C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，P（x3，y3）（x3≥0）為軌跡C上一點，若
OP
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）若過定點（-2，0）的直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）若過定點（-1，0）且傾斜角為
π
6
的直線l與圓C相交于A，B兩點，求線段AB的中點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

直線與雙曲線x2-4y2=4交于A、B兩點，若線段AB的中點坐標為（8，1），則直線的方程為______．

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同步練習冊答案