在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B（-2，0），C（2，0），直線AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．
（1）設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），則kAB=
y
x+2
，kAC=
y
x-2
，…（2分）
∵kAB•kAC=-
1
4
，
∴
y
x+2
•
y
x-2
=-
1
4
，
∴
x2
4
+y2=1．
∴曲線E的方程為
x2
4
+y2=1（x≠±2）．…（4分）
（2）曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D（0，-1）．
∵l1的斜率存在，∴設(shè)l1的方程為y=kx-1，
代入
x2
4
+y2=1，得M（
8k
1+4k2
，
4k2-1
1+4k2
），
從而DM=
(
8k
1+4k2
)2+(
4k2-1
1+4k2
+1)2
=
8|k|
1+k2
1+4k2
，…（6分）
用-
1
k
代k得DN=
8
1+k2
4+k2
．
∴△DMN的面積S=
1
2
•
8|k|
1+k2
1+4k2
•
8
1+k2
4+k2

=
32(1+k2)|k|
(1+4k2)(4+k2)
．…（8分）
則
S
|k|
=
32(1+k2)
(1+4k2)(4+k2)
，
∵k≠0且k≠±
1
2
，k≠±2，令1+k2=t，
則t＞1，且t≠
5
4
，t≠5，
從而
S
|k|
=
32t
(4t-3)(t+3)
=
32t
4t2+9t-9
=
32
9+4t-
9
t
，
∵4t-
9
t
＞-5，且4t-
9
t
≠-
11
5
，4t-
9
t
≠
91
5
．
∴9+4t-
9
t
＞4，且9+4t-
9
t
≠
34
5
，9+4t-
9
t
≠
136
5
，
從而
S
|k|
＜8，且
S
|k|
≠
80
17
，
S
|k|
≠
20
17
，
即
S
|k|
∈（0，
20
17
）∪（
20
17
，
80
17
）∪（
80
17
，8）．…（10分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x2上，從原點(diǎn)向A（2，4）移動(dòng)，如果直線OP，曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2．
（Ⅰ）當(dāng)S1=S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)S1+S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=8x與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦點(diǎn)F，且橢圓過(guò)點(diǎn)D（-
2
，
3
）．
（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)A、B是橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)C為右頂點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)A、B、C的圓為⊙M，過(guò)點(diǎn)D作⊙M的切線l，求直線l的方程；
（3）過(guò)點(diǎn)A作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)P、Q，則直線PQ是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不經(jīng)過(guò)，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），離心率為
2
2
．過(guò)點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
BM
•
BN
的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN，求證：kAM+kAN為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知直線y=k（x+2）與雙曲線
x2
m
-
y2
8
=1，有如下信息：聯(lián)立方程組：
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分類討論：
（1）當(dāng)A=0時(shí)，該方程恒有一解；
（2）當(dāng)A≠0時(shí)，△=B2-4AC≥0恒成立．在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�
A．（1，
3
]		B．[
3
，+∞）		C．（1，2]D．[2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(
1
3
，0)；又直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)的原點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，寫(xiě)出理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2），B（
1
2
，
3
）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0）為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求x20+2y0的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過(guò)（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，0），定直線l：x=-1，B為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線m⊥l，連接AB，作線段AB的垂直平分線n，交直線m于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)N（4，0）作直線h與點(diǎn)M的軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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