Question

設(shè)P（x₀，y₀）是拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）上異于頂點(diǎn)的定點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)PA與PB的傾斜角互補(bǔ)
（1）求

y1+y2

y0

的值
（2）證明直線(xiàn)AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

（I）設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k_PA，直線(xiàn)PB的斜率為k _PB
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀
相減得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故 kPA=

y1-y0

x1-x0

=

2p

y1+y0

(x1≠x0)
同理可得 kPB=

2p

y2+y0

(x2≠x0)
由PA，PB傾斜角互補(bǔ)知k_PA=-k_PB
即

2p

y1+y0

=-

2p

y2+y0

所以y₁+y2=-2y₀
故

y1+y2

y0

=-2
（II）設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k_AB
由y2²=2px₂，y₁²=2px₁
相減得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以 kAB=

y2-y1

x2-x1

=

2p

y1+y2

(x1≠x2)
將y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得kAB=

2p

y1+y2

=-

p

y0

，所以k_AB是非零常數(shù)．