Question

若中心在原點的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線x²-y²=2有共同的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，圓C₂的直徑是橢圓C₁的長軸，C是橢圓的上頂點，動直線AB過點C且與圓C₂交于A、B兩點，CD垂直于AB交橢圓于點D．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求△ABD面積的最大值，并求此時直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線的截距，利用橢圓與雙曲線的離心率關系求出橢圓的離心率，然后求出橢圓的長半軸，短半軸，即可求橢圓C₁的方程；
（2）設出直線方程，利用點到直線的距離，求出弦長，聯(lián)立直線AB的方程與橢圓方程，求出三角形的面積，然后求解△ABD面積的最大值，即可求解此時直線AB的方程．

解答： （1）解：雙曲線x²-y²=2的焦點為（±2，0），離心率為

2

，（2分），
橢圓的離心率為：

2

2

由題意，c=2，解得：a=2

2

．
∴b²=a²-c²=45
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1（4分）
（2）解：當直線AB斜率不存在時，不符合題意．
當AB斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為y=kx+2，直線CD的方程為y=-

1

k

x+2
圓心（0，0）到直線AB的距離為d=

2

k2+1

（5分）
∴直線AB被圓C₂所截得的弦長|AB|=2

8-d2

=

4 2k2+1

k2+1

（6分）
由

x2 8 + y2 4 =1 y=- 1 k x+2

得：（k²+2）x²-8kx=0
∴xD=

8k

k2+2

，yD=-

1

k

×

8k

k2+2

+2=

2k2-4

k2+2

（7分）
故|CD|=

( 8k k2+2 )2+( 2k2-4 k2+2 -2)2

=

8 k2+1

k2+2

（8分）
∴S△ABD=

1

2

×

4 2k2+1

k2+1

×

8 k2+1

k2+2

=

16 2k2+1

k2+2

（9分）
令t=

2k2+1

，則k2=

t2-1

2

(t2＞1)
故S△ABD=

16t

t2-1 2 +2

=

32t

t2+3

=

32

t+ 3 t

≤

32

2 3

=

16 3

3

（11分）
當且僅當t=

3

t

，即t=

3

時，等號成立
此時

2k2+1

=

3

⇒k=±1（12分）
當直線AB斜率為0，即AB∥x軸時，S△ABD=8＜

16 3

3

∴△ABD面積的最大值為

16 3

3

，這時直線AB的方程為y=±x+1．（14分）

點評：本題考查橢圓的定義及其性質(zhì)，雙曲線的性質(zhì)，求解橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，三角形面積的求法，考查分析問題解決問題的能力．