【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求的最小值;
(2)設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),且,求的取值范圍.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
(1)當(dāng)時(shí),利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),得到函數(shù)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的最小值;
(2)分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù),函數(shù)在時(shí),至多有一個(gè)零點(diǎn),函數(shù)在時(shí),可能僅有一個(gè)零點(diǎn),可能有兩個(gè)零點(diǎn),分別求出的取值范圍,可得解.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),
當(dāng)時(shí),,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得函數(shù)在上為增函數(shù),且;
當(dāng)時(shí),,由二次函數(shù)的性質(zhì),可得函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
又由函數(shù), 當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值為;
故當(dāng)時(shí),最小值為.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),所以
(。┊(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),令得,
因?yàn)?/span>時(shí),,所以時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為且,
此時(shí)需函數(shù)在時(shí)也恰有一個(gè)零點(diǎn),
令,即,得,令,
設(shè),,
因?yàn)?/span>,所以,,,
當(dāng)時(shí),,所以,即,所以在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,所以,即,所以在上單調(diào)遞減;
而當(dāng)時(shí),,又時(shí),,所以要使在時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn),則需,
要使函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),且,設(shè)在時(shí)的零點(diǎn)為,
則需,而當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),并且滿足;
(ⅱ)若當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn),函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn) ,且滿足,也符合題意,
而由(。┛傻,要使當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn),則 ,
要使函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn) ,則,但不能滿足,
所以沒有的范圍滿足當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn),
函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn) ,且滿足,
綜上可得:實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故得解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓:,圓:,動點(diǎn)在直線:上(),過分別作圓,的切線,切點(diǎn)分別為,,若滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè),則實(shí)數(shù)的值為______.
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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)傾斜角為α的直線l:(t為參數(shù))與曲線C:(θ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)若α=,求線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo);
(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP|,其中P(2,),求直線l的斜率.
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【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AC=2BC,∠ACB=90°.
(Ⅰ)求證:AC1⊥A1B;
(Ⅱ)求直線AB與平面A1BC所成角的正切值.
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【題目】如圖長方體中,,分別為棱,的中點(diǎn)
(1)求證:平面平面;
(2)請?jiān)诖痤}卡圖形中畫出直線與平面的交點(diǎn)(保留必要的輔助線),寫出畫法并計(jì)算的值(不必寫出計(jì)算過程).
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【題目】如圖長方體中,,分別為棱,的中點(diǎn)
(1)求證:平面平面;
(2)請?jiān)诖痤}卡圖形中畫出直線與平面的交點(diǎn)(保留必要的輔助線),寫出畫法并計(jì)算的值(不必寫出計(jì)算過程).
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【題目】2018年高考成績揭曉,某高中再創(chuàng)輝煌,考后學(xué)校對于單科成績逐個(gè)進(jìn)行分析:現(xiàn)對甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析,規(guī)定:大于等于135分為優(yōu)秀,135分以下為非優(yōu)秀,成績統(tǒng)計(jì)后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
(1)請完成上面的列聯(lián)表;
(2)請問:是否有75%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與所在的班級有關(guān)系”?
(3)用分層抽樣的方法從甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,然后再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行談話,求抽到的2名學(xué)生中至少有1名乙班學(xué)生的概率.
參考公式:(其中)
參考數(shù)據(jù):
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【題目】在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+ )=1.以極點(diǎn)O為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).若直線l與圓C相切,求r的值.
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